如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明 PA∥平面ED

题型：不详难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明 PA∥平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求V_B-EFD．

答案

（1）连结AC，交BD于O，连结EO，
因为ABCD是正方形，点O是AC的中点，在三角形PAF中，EO是中位线，
所以PA∥EO，而EO⊂面EDB，且PA⊄面EDB，所以PA∥平面EDB；
（2）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC
在底面正方形中，DC⊥BC，
所以BC⊥面PDC，而DE⊂面PDC，
所以BC⊥DE，
又PD=DC，E是PC的中点，所以DE⊥PC，
所以DE⊥面PBC，而PB⊂面PBC，
所以DE⊥PB，
又EF⊥PB，且DE∩EF=E，
所以PB⊥平面EFD．
（3）因为PD=DC=2，所以PC=2

2

，PB=2

3

，PE=

2

，
因为

EF

PE

=

BC

PB

，所以

EF

2

=

2

2 3

，
即EF=

6

3

，PF=

2 3

3

，FB=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

，
DF=

BD2-PF2

=

2 6

3

，
所以VB-EFD=

1

3

×

1

2

BF⋅DF⋅EF=

1

3

×

1

2

×

4 3

3

×

2 6

3

×

6

3

=

8 3

27

．