在几何体ABCDE中，∠BAC=π2，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1，（I）求证：DC∥平面ABE；（II）设平面ABE与平

题型：不详难度：来源：

在几何体ABCDE中，∠BAC=

π

2

，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1，
（I）求证：DC∥平面ABE；
（II）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l∥平面BCDE；
（III）设F是BC的中点，求证：平面AFD⊥平面AFE．

答案

（I）证明：

∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∴DC∥EB，
又∵DC?平面ABE，EB?平面ABE，∴DC∥平面ABE．
（II）∵CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC∴CD∥BE，∴CD∥平面ABE．  又l=平面ACD∩平面ABE．∴CD∥l．
又l?平面BCDE，CD?平面BCDE，∴l∥平面BCDE．
（III）∵F是BC的中点，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AF．∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，AF⊥平面BCDE．
∴AF⊥DF，AF⊥EF，∴∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角．
在△DEF中，FD=

3

，FE=

6

，DE=3，FD⊥FE，即∠DFE=90°，∴平面AFD⊥平面AFE．