在直角梯形ABCD中,ABCD,AB=2BC=4,CD=3,E为AB中点,过E作EFCD,垂足为F,(如图一),将此梯形沿EF折起,使得平面ADFE垂直于平面F

在直角梯形ABCD中,ABCD,AB=2BC=4,CD=3,E为AB中点,过E作EFCD,垂足为F,(如图一),将此梯形沿EF折起,使得平面ADFE垂直于平面F

题型:福建省月考题难度:来源:
在直角梯形ABCD中,ABCD,AB=2BC=4,CD=3,E为AB中点,过E作EFCD,垂足为F,(如图一),将此梯形沿EF折起,使得平面ADFE垂直于平面FCBE,(如图二).
(1)求证:BF平面ACD;
(2)求多面体ADFCBE的体积.
答案
解:(1)证明:直角梯形ABCD中,ABCD,AB=2BC=4,CD=3,
E为AB中点,EFCD,垂足为F,
BCFE为正方形.
设BF和CE的交点为O,则O是正方形BCFE的中心.
再由平面ADFE垂直于平面FEBC,可得AE和DF都垂直于平面BCFE.
取AC得中点为H,则由三角形的中位线性质可得OH平行且等于AE的一半,
故OH平行且等于DF,
故四边形OHDF为矩形,
故OF平行于DH.
再由DH平面ACD,OF不在平面ACD内,
故OF平面ACD,
即BF平面ACD.
(2)把多面体ADFCBE分成两个棱锥:三棱锥A﹣BCE 和四棱锥C﹣AEFD,
由题意可得CF平面AEFD,AE平面BCFE.
VA﹣BCE=S△BCEAE=
VC﹣AEFD=SAEFDCF=
故多面体ADFCBE的体积为 VA﹣BCE+VC﹣AEFD=+2=
举一反三
如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为DD1的中点.求证:
(1)BD1∥平面EAC;
(2)平面EAC⊥平面AB1C.
题型:江苏月考题难度:| 查看答案
如图,是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:EM∥平面ABC;
(?)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
题型:江西省月考题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠BAD=∠ABC=90°,且AB=AD=1,BC=3,SB与平面ABCD所成的角为45°,E为SD的中点.
(Ⅰ)若F为线段BC上的一点且BF=BC,求证:EF∥平面SAB;
(Ⅱ)求点B到平面SDC的距离;
(Ⅲ)在线段 BC上是否存在一点G,使二面角G﹣SD﹣C的大小为arccos若存在,求出BG的长;若不存在,说明理由.
题型:重庆市期末题难度:| 查看答案
如图,若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是

[     ]
A.EH∥FG
B.四边形EFGH是矩形
C.Ω是棱柱
D.Ω是棱台
题型:四川省期末题难度:| 查看答案
如图,已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=2,CE∥AF,AC⊥CE,
(I)求证:CM∥平面BDF;
(II)求异面直线CM与FD所成角的余弦值的大小;
(III)求二面角A﹣DF﹣B的大小.
题型:浙江省期末题难度:| 查看答案
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