如图,已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=2,CE∥AF,AC⊥CE,(I)求证:CM∥平面BDF;(II)求异面直线CM与FD所

如图,已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=2,CE∥AF,AC⊥CE,(I)求证:CM∥平面BDF;(II)求异面直线CM与FD所

题型:浙江省期末题难度:来源:
如图,已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=2,CE∥AF,AC⊥CE,
(I)求证:CM∥平面BDF;
(II)求异面直线CM与FD所成角的余弦值的大小;
(III)求二面角A﹣DF﹣B的大小.
答案
解:(I)证明:因为面ABCD⊥面ACEF,面ABCD∩面ACEF=AC,且AC⊥CE,
∴CE⊥面ABCD.
所以CD、CB、CE两两垂直.可建立如图空间直角坐标系C﹣xyz.
则(2,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),F(2,2,),O(1,1,0)
,可求得M(
=(),).
所以
∴CM∥OF
∵OF平面BDF
∴CM∥平面BDF 。
(II)因为=(),),
所以cos<>=
异面直线CM与FD所成角的余弦值的大小为
(III)因为CD⊥平面ADF,所以平面ADF的法向量=(2,0,0).
设平面BDF的法向量为=(x,y,1)

所以法向量=(﹣,1)
所以所以<=
由图可知二面角A﹣DF﹣B为锐角,所以二面角A﹣DF﹣B大小为

举一反三
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明PA∥平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C﹣PB﹣D的大小.
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已知a、b是直线,α、β、γ是平面,给出下列命题:
①若α∥ β,aα,则a∥β;
②若a、b与α所成角相等,则a∥b;
③若α⊥β、β⊥γ,则α∥γ
④若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
其中正确的命题的序号是(    )。
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设α、β、γ是互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,给出四个命题:
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β
②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
③若m⊥α,m∥β,则α⊥β 
④若m∥α,n⊥α,则m⊥n
其中真命题的序号是(    )
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如图是正三棱柱ABC﹣A1B1C1,AA1=3,AB=2,若N为棱AB中点.
(1)求证:AC1∥平面CNB1
(2)求四棱锥C1﹣ANB1A1的体积.
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如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2.,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于(    ).
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