如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,(1)求证:EF∥平面
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,(1)求证:EF∥平面
题型:模拟题
难度:
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=
AD,
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.
答案
证明:(1)如图,连接AC,则F是AC的中点,
因E为PC的中点,
故在△CPA中,EF∥PA,
又PA
平面PAD,EF
平面PAD,
所以EF∥平面PAD。
(2)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
又CD⊥AD,
所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PA,
又
,
所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=90°,即PA⊥PD,
又CD∩PD=D,
所以PA⊥平面PCD,
又PA
平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PCD.
举一反三
如图,在正三棱锥A-BCD中,∠BAC=30°,AB=a,平行于AD、BC的截面EFCH分别交 AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H。
(1)判定四边形EFCH的形状,并说明理由;
(2)设P是棱AD上的点,当AP为何值时,平面PBC⊥平面EFCH?请给出证明。
题型:模拟题
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已知如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E。
(1)求证:DE⊥PC;
(2)当PA//平面EDB时,求二面角E-BD-C的正切值。
题型:0128 模拟题
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如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点。
(1)求证:BE//平面PAD;
(2)若AB=1,PA=2,求三棱锥E-DBC的体积。
题型:0127 模拟题
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如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC= BC=EB=2DC=2,∠ACB=90°,P、Q分别为DE、AB的中点。
(1)求证:PQ∥平面ACD;
(2)求几何体B-ADE的体积。
题型:安徽省模拟题
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在空间中,有如下命题:
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线;
②若平面α∥平面β,则平面α内任意一条直线m∥平面β;
③若平面α与平面β的交线为m,平面α内的直线n⊥直线m,则直线n⊥平面β;
④若平面α内的三点A,B,C到平面β的距离相等,则α∥β。
其中正确命题的个数为( )。
题型:北京模拟题
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