如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC= BC=EB=2DC=2，∠ACB=90°，P、Q分别为DE、AB的中点。（1）求证：PQ∥平面ACD；（2）求几何体

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如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC= BC=EB=2DC=2，∠ACB=90°，P、Q分别为DE、AB的中点。

（1）求证：PQ∥平面ACD；
（2）求几何体B-ADE的体积。

答案

解：（1）取BC的中点M，连接PM，QM，
易证平面PQM∥平面ACD
又∵PQ

平面PQM，
∴PQ∥平面ACD。
（2）DC⊥平面ABC

AC⊥DC
又∵AC⊥BC，
∴AC⊥平面BCDE

。

举一反三

在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；
④若平面α内的三点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥β。
其中正确命题的个数为（）。

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如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，AC∩BD=O，侧棱AA₁⊥BD，点F为DC₁的中点，
(1)证明：OF∥平面BCC₁B₁；
(2)证明：平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁。

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如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁、ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC的中点，
(1)求证：A₁B∥平面ADC₁；
(2)求证：C₁A⊥B₁C。

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如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，点M是BC的中点，点N是AA₁的中点。

（1）求证：MN∥平面A₁CD；
（2）过N，C，D三点的平面把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值。

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如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、G分别是A₁A，D₁C，AD的中点。求证：

（1）MN∥平面ABCD；
（2）MN⊥平面B₁BG。

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