如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10。(1)设G是OC的中

如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10。(1)设G是OC的中

题型:浙江省高考真题难度:来源:
如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10。
(1)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE;
(2)证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离。
答案
解:(1)如图,连结OP,以点O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,
则O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3)
由题意,得G(0,4,0)
因为
所以平面BOF的法向量n=(0,3,4)


又直线FG不在平面BOE内,
所以FG∥平面BOE;(2)设点M的坐标为(x0,y0,0)

因为FM⊥平面BOE,
所以
因此
即点M的坐标是
在平面直角坐标系xOy中,△AOB的内部区域可表示为不等式组
经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在△AOB内存在一点M,使FM⊥平面BOE
由点M的坐标,得点M到OA,OB的距离分别为4,
举一反三
如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E、F分别是AB、BD的中点。求证:
(1)直线EF∥平面ACD;
(2)平面EFC⊥平面BCD。
题型:江苏高考真题难度:| 查看答案
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC。
(1)设E是DC的中点,求证:D1E∥平面A1BD;
(2)求二面角A1-BD-C1的余弦值。
题型:山东省高考真题难度:| 查看答案
如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形,D,E分别为AB,PC的中点。
(1)在BC边上是否存在一点F,使得PB∥平面DEF;
(2)若∠PAC=∠PBC=90°,证明:AB⊥PC;
(3)在(2)的条件下,若AB=2,AC=,求三棱锥P-ABC的体积。
题型:0103 模拟题难度:| 查看答案
已知α、β、γ是三个互不重合的平面,l是一条直线,下列命题中正确命题是[     ]
A.若α⊥β,l⊥β,则l∥α
B.若l上有两个点到α的距离相等,则l∥α
C.若l⊥α,l∥β,则α⊥β
D.若α⊥β,α⊥γ,则γ⊥β
题型:山西省模拟题难度:| 查看答案
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,O是AC与BD的交点,E为BB1的中点,
(1)求证:直线B1D∥平面AEC;
(2)求证:B1D⊥平面D1AC;
(3)求三棱锥D-D1OC的体积。
题型:模拟题难度:| 查看答案
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