如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD, CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.(Ⅰ)求证:BE∥平面
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如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD, CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.(Ⅰ)求证:BE∥平面
题型:浙江省模拟题
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来源:
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD, CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.
(Ⅰ)求证:BE∥平面PAD;
(Ⅱ)若BE⊥平面PCD,
①求异面直线PD与BC所成角的余弦值;
②求二面角E-BD-C的余弦值。
答案
解:设AB=a,PA=b,
建立如图的空间直角坐标系,
,
,
(Ⅰ)
,
所以,
,
平面PAD,
∴BE∥平面PAD。
(Ⅱ)∵BE⊥平面PCD,
∴BE⊥PC,即
,
,
∴
,即b=2a,
①
,
,
所以,异面直线PD与BC所成角的余弦值为
;
②平面BDE和平面BDC中,
,
,
所以,平面BDE的一个法向量为
,
平面BDC的一个法向量为
,
,
所以,二面角E-BD-C的余弦值为
。
举一反三
如图,平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD⊥BA,BD=
AE=2,O,M分别为CE,AB的中点.
(Ⅰ)求证:OD∥平面ABC;
(Ⅱ)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值;
(Ⅲ)能否在EM上找一点N,使得ON⊥平面ABDE?若能,请指出点N的位置,并加以证明;若不能,请说明理由。
题型:福建省模拟题
难度:
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如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD,DE=2AB,F为CD的中点,
(Ⅰ)求证:AF∥平面BCE;
(Ⅱ)求证:平面BCE⊥平面CDE。
题型:江苏模拟题
难度:
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正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,点F为A
1
D的中点,
(Ⅰ)求证:A
1
B∥平面AFC;
(Ⅱ)求证:平面A
1
B
1
CD⊥平面AFC。
题型:江苏模拟题
难度:
|
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如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=
,CE=EF=1,
(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;
(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE.
题型:北京高考真题
难度:
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.
(Ⅰ)证明:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)求三棱锥E-ABC的体积V。
题型:陕西省高考真题
难度:
|
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