如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=AE=2，O，M分别为CE，A

题型：福建省模拟题难度：来源：

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=AE=2，O，M分别为CE，AB的中点．
(Ⅰ)求证：OD∥平面ABC；
(Ⅱ)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；
(Ⅲ)能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由。

答案

(Ⅰ)证明：取AC中点F，连接OF，FB，
∵F是AC的中点，O为CE的中点，
∴OF∥EA且OF=EA，
又BD∥AE且BD=AE，
∴OF∥DB，OF=DB，
∴四边形BDOF是平行四边形， 
∴OD∥FB，
又∵FB平面ABC，OD平面ABC，
∴OD∥面ABC。
(Ⅱ)解：∵DB⊥BA，又面ABDE⊥面ABC，
面ABDE∩面ABC=AB，DB面ABDE，
∴DB⊥面ABC，
∵BD∥AE，
∴EA⊥面ABC，
如图，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，
以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=4，
∴各点坐标为：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），
D（0，4，2），E（4，0，4），
∴O（2，0，2），M（2，2，0），
设平面ODM的法向量n=（x，y，z），
则由且可得，
令x=2，得y=1，z=1，
∴n=（2，1，1），
设直线CD和平面ODM所成角为θ，
则，
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为。
(Ⅲ)解：当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE，
取EM中点N，连接ON，CM，
∵AC=BC，M为AB中点，
∴CM⊥AB，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB， CM面ABC，
∴CM⊥平面ABDE，
∵N是EM中点，O为CE中点，
∴ON∥CM， 
∴ON⊥平面ABDE．