P是△ABC所在平面外一点,A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心,(1)求证:平面A′B′C′∥平面ABC;(2)求S△A′B′C′:S△A
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P是△ABC所在平面外一点,A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心, (1)求证:平面A′B′C′∥平面ABC; (2)求S△A′B′C′:S△ABC. |
答案
证明:(1)如图,分别取AB,BC,CA的中点M,N,Q, 连接PM,PN,PQ,MN,NQ,QM, ∵A′,B′,C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心, ∴A′,B′,C′分别在PN,PQ,PM上, 且PC′:PM=PA:PN=PB:PQ=2:3. 在△PMN中,==, 故C′A′∥MN, 又M,N为△ABC的边AB,BC的中点,MN∥AC, ∴A′C′∥AC, ∴A′C′∥平面ABC, 同理A′B′∥平面ABC, ∴平面ABC∥平面A′B′C′; (2)由(1)知,=,=, ∴A′B′:AB=1:3. ∴S△A′B′C′:S△ABC=(A′B′)2:(AB)2=1:9. |
举一反三
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