如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面ACE（2）过直线BD1是否存在与平面ACE平行的平面，若存在，请作出这个

题型：不详难度：来源：

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DD₁的中点．
（1）求证：BD₁∥平面ACE
（2）过直线BD₁是否存在与平面ACE平行的平面，若存在，请作出这个平面与长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的交线（请在答题卡上用黑色碳素笔和直尺作图），并证明这两个平面平行；若不存在，请说明理由．

答案

（1）证明：设AC∩BD=O，连接OE，
因为E是DD₁的中点，O是BD的中点，
所以OE∥BD₁．
又因为OE⊂平面ACE，BD₁⊄平面ACE，
所以BD₁∥平面ACE．
（2）存在．
取AA₁，CC₁中点M，N，连接MD₁，MB，BN，ND₁，
因为E是DD₁的中点，M是AA₁的中点，所以AE∥D₁E，
同理D₁N∥CE．
因为D₁E，D₁N⊂平面D₁MBN，AE，CE⊂平面ACE，
所以平面ACE∥平面D₁MBN．