三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC=AC=AA1,CD⊥AC1,E、F分别是BB1、CC1中点.(1)证明:平面DEF∥平面ABC;(

三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC=AC=AA1,CD⊥AC1,E、F分别是BB1、CC1中点.(1)证明:平面DEF∥平面ABC;(

题型:不详难度:来源:
三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC=AC=AA1,CD⊥AC1,E、F分别是BB1、CC1中点.
(1)证明:平面DEF平面ABC;
(2)证明:CD⊥平面AEC1魔方格
答案
(1)证明:由题意可知CA=CC1,又CD⊥AC1
由等腰三角形的性质可知D为AC1的中点,
又F为CC1的中点,所以DFAC,
又AC⊂平面ABC,所以DF平面ABC,
同理可证:EF平面ABC,又DF∩EF=F,
所以平面DEF平面ABC;
(2)设AB=2,则DF=1,EF=2,∠DFE=∠ACB=60°,
由余弦定理可得:DE2=12+22-2×1×2×
1
2
=3,∴DE=


3

∵CD为直角三角形ACC1斜边AC1的中线,
∴CD=
1
2
AC1=


2
,CE=


12+22
=


5

所以CD2+DE2=CE2,由勾股定理可得CD⊥DE,
又CD⊥AC1,AC1∩DE=D,所以CD⊥平面AEC1
举一反三
已知直线l及两个平面α、β,下列命题正确的是(  )
A.若lα,lβ,则αβB.若lα,lβ,则α⊥β
C.若l⊥α,l⊥β,则αβD.若l⊥α,l⊥β,则α⊥β
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D、E分别为BC、B1C的中点.
(1)求证:DE平面ABB1A1
(2)求证:平面ADE⊥平面B1BC.魔方格
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如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB、BC的中点,G为DD1上一点,且D1G:GD=1:2,AC∩BD=O,求证:平面AGO平面D1EF.魔方格
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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1平面BCHG.魔方格
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已知平面α平面β,P是α、β外一点,过P点的两条直线PAC、PBD分别交α于A、B,交β于C、D,且PA=6,AC=9,AB=8,则CD的长为______.
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