如图:已知平面α∥平面β,点A、B在平面α内,点C、D在β内,直线AB与CD是异面直线,点E、F、G、H分别是线段AC、BC、BD、AD的中点,求证:(Ⅰ)E、
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如图:已知平面α∥平面β,点A、B在平面α内,点C、D在β内,直线AB与CD是异面直线,点E、F、G、H分别是线段AC、BC、BD、AD的中点,求证: (Ⅰ)E、F、G、H四点共面; (Ⅱ)平面EFGH∥平面β. |
答案
证:(Ⅰ)∵点E、F是线段AC、BC的中点, ∴EF∥AB, 又∵G、H是线段BD、AD的中点,∴GH∥AB, ∴EF∥GH,因此:E、F、G、H四点共面; (Ⅱ)∵平面α∥平面β,点A、B在平面α内,∴AB∥平面α 设平面ABC与平面β的交线为CP, ∵直线AB与CD是异面直线, ∴CP与CD是交线, ∵AB∥平面α,∴AB∥CP,又EF∥AB, ∴EF∥CP,∴EF∥平面β, ∵点E、H是线段AC、AD的中点, ∴EH∥CD,∴EH∥平面β, 因此:平面EFGH∥平面β. |
举一反三
在空间四边形ABCD中,如图所示. (1)若E、F分别为AB、AD上的点且AE=AB,AF=AD,能推出EF∥平面BCD吗?为什么? (2)若E、F分别是AB、AD上的任一点,在何条件下能使EF∥平面BCD呢? |
Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1,设直角边AB∥α,则△A1B1C1的形状是______三角形. |
如图,A,B,C为不在同一条直线上的三点,AA′∥BB′∥CC′,且AA′=BB′=CC′,求证:平面ABC∥平面A′B′C′. |
下列四个命题:①平行于同一直线的两个平面平行;②平行于同一平面的两个平面平行;③平行于两条相交直线的两个平面平行;④与无数条直线都平行的两个平面平行.则其中正确命题的序号是 ______. |
如图,△BCD是等边三角形,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G分别是BD,BC,AB的中点,将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置,使得AD⊥C′B. (1)求证:平面GNM∥平面ADC′; (2)求证:C′A⊥平面ABD. |
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