如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=，点P到

题型：湖南省高考真题难度：来源：

如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0.4（km）。沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用，从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km。当山坡上公路长度为lkm（1≤l≤2）时，其造价为（l²+1）a万元。已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），OA=（km），
（Ⅰ）在AB上求一点D，使沿折线PDAD修建公路的总造价最小；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；
（Ⅲ）在AB上是否存在两个不同的点D′、E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于（Ⅱ）中得到的最小总造价，证明你的结论。

答案

解：（I）如图，PH⊥α，HB，PB⊥AB，
由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB，
所以∠PBH是山坡面与α所成二面角的平面角，
则∠PBH=，
设BD=x(km)，0≤x≤1.5，
则，
记总造价为万元，
据题设有

，
当(km)时总造价最小。（Ⅱ）设AE=y(km)，0≤y≤，总造价为万元，
根据题设有

，
则，
由，得y=1，
当y∈（0，1）时，
在（0，1）内是减函数；
当内是增函数；
故当y=1，即AE=1(km)时总造价最小，
且最小总造价为万元。
（Ⅲ）不存在这样的点D′、E′。
事实上，在AB上任取不同的两点D′、E′。
为使总造价最小，E′显然不能位于D′与B之间，
故可设E′位于D′与A之间，
且，0≤x₁+y₁≤，
总造价为S万元，
则，
类似于（I）、（II）的讨论知，，
当且仅当同时成立时，
上述两个不等式等号同时成立，
此时(km)，AE′=1(km)，S取得最小值，
点D′、E′分别与点D、E重合；
所以不存在这样的点D′、E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价。