已知一个四棱锥P-ABCD的三视图（正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角形的正方形）如下，E是侧棱PC上的动点．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（

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已知一个四棱锥P-ABCD的三视图（正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角形的正方形）如下，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置都有BD⊥AE，证明你的结论．

答案

（1）由三视图可知，PC⊥面ABCD，且PC=2，
底面ABCD是正方形，故体积Vp-ABCD=

×2×1×1=

；（6分）
（2）是，在任何位置都有BD⊥AE，理由如下：（8分）
连接AC，则AC⊥BD，PC⊥BD且PC交AC于C点，故BD⊥面PAC，
因为E是PC上的动点，所以AE在平面PAC内，所以BD⊥AE不论E在何位置都正确．（12分）

举一反三

如图，已知在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求证：DB⊥平面B₁BCC₁；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D₁E∥平面A₁BD，并说明理由．

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如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=4，M为CE的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF：
（Ⅱ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅲ）求三棱锥C-MBD的体积．

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如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=2，点M，N分别是PD，PB的中点．
（I）求证：PB∥平面ACM；
（II）求证：MN⊥平面PAC；
（III）求四面体A-MBC的体积．

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如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠CAA₁=60°，AA₁=2AC，BC⊥平面AA₁C₁C．
（1）证明：A₁C⊥AB；
（2）设BC=AC=2，求三棱锥C-A₁BC₁的体积．

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如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD=CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）AC⊥平面PBD．

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