如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,垂足为点A,PA=AB=2,点M,N分别是PD,PB的中点.(I)求证:PB∥平面ACM;

如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,垂足为点A,PA=AB=2,点M,N分别是PD,PB的中点.(I)求证:PB∥平面ACM;

题型:不详难度:来源:
如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,垂足为点A,PA=AB=2,点M,N分别是PD,PB的中点.
(I)求证:PB平面ACM;
(II)求证:MN⊥平面PAC;
(III)求四面体A-MBC的体积.
答案
证明:(I)连接AC,BD,AM,MC,MO,MN,且AC∩BD=O
∵点O,M分别是PD,BD的中点
∴MOPB,
∵PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM
∴PB平面ACM.…(4分)
(II)∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD
∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC…(7分)
在△PBD中,点M,N分别是PD,PB的中点,∴MNBD
∴MN⊥平面PAC.…(9分)
(III)∵VA-MBC=VM-ABC=
1
3
S△ABC•h
h=
1
2
PA
…(12分)
VA-MBC=
1
3
1
2
•AB•AD•
1
2
•PA=
2
3
.…(14分)
举一反三
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠CAA1=60°,AA1=2AC,BC⊥平面AA1C1C.
(1)证明:A1C⊥AB;
(2)设BC=AC=2,求三棱锥C-A1BC1的体积.
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如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD=CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点.求证:
(1)PA平面BDE;
(2)AC⊥平面PBD.
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如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,E为PC的中点.
求证:
(1)PA平面BDE;
(2)AC⊥平面PBD.
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如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;
(2)求二面角A-BC-P的大小.
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正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(  )
A.直线ACB.直线B1D1C.直线A1D1D.直线A1A

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