（2013•朝阳区二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．（Ⅰ）

题型：不详难度：来源：

（2013•朝阳区二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PDE；
（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．
又因为FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，所以，FG∥平面PED．…（4分）
（Ⅱ）因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．
又因为CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．
由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE．
而FH⊂平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（9分）
（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．证明如下：
在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以BE=

5

．
在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以PE=

5

，
所以PE=BE．又因为F为PB的中点，所以EF⊥PB．
要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因为CB⊥CD，PD∩CD=D，
所以CB⊥平面PCD，而PC⊂平面PCD，所以CB⊥PC．
若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得

PM

PB

=

PF

PC

．
由已知可求得PB=2

3

，PF=

3

，PC=2

2

，所以PM=

3 2

2

．…（14分）