解:(1)∵D,E分别为AC,AB的中点,
∴DE∥BC,
又DE?平面A1CB,
∴DE∥平面A1CB。
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,
∴DE⊥AC,
∴DE⊥A1D,
又DE⊥CD,
∴DE⊥平面A1DC,而A1F?平面A1DC,
∴DE⊥A1F,又A1F⊥CD,
∴A1F⊥平面BCDE,
∴A1F⊥BE。
(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ
理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC
∵DE∥BC,
∴DE∥PQ
∴平面DEQ即为平面DEP
由(2)知DE⊥平面A1DC,
∴DE⊥A1C,
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
∴A1C⊥DP,
∴A1C⊥平面DEP,
从而A1C⊥平面DEQ,
故线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ。
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