如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：EF⊥平

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如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：EF⊥平面BCD．

答案

解：（1）证明：取BC中点O，连接OF
∵F是AC中点，O为CB中点，∴OF∥DB且OF=

DB，又BD∥AE且AE=

BD
∴OF∥AE，OF=AE
∴四边形EAOF是平行四边形
∴OA∥FE
又∵OA

平面ABC，EF

平面ABC
∴EF∥平面ABC．
（2）连接BF，∵AE=1，则AB=BC=AC=BD=2，
于是

，

，
所以

，

所以BF⊥EF，又EF⊥CD，
又BF，CD为两条相交直线
故EF⊥平面BCD

举一反三

已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，那么
①m⊥β；
②l⊥α；
③β⊥γ；
④α⊥β．
可由上述条件可推出的结论有（    ）（请将你认为正确的结论的序号都填上）．

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如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD．

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如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E、F分别是AB、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）若G是线段AD的中点，则当PB与面ABCD所成角的正切值为何值时，GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

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如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，已知∠ACB=90°，BC=CC₁，E、F分别为AB、AA₁的中点．
（1）求证：直线EF∥平面BC₁A₁；
（2）求证：EF⊥B₁C．

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如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）求四棱锥E﹣ABCD的体积；
（3）设点M在线段AB上，且AM=MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

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