已知PA⊥矩形ABCD所在平面,PA=AD=,E为线段PD上一点,G为线段PC的中点.(1)当E为PD的中点时,求证:BD⊥CE;(2)当时,求证:BG平面AE

已知PA⊥矩形ABCD所在平面,PA=AD=,E为线段PD上一点,G为线段PC的中点.(1)当E为PD的中点时,求证:BD⊥CE;(2)当时,求证:BG平面AE

题型:湖北省模拟题难度:来源:
已知PA⊥矩形ABCD所在平面,PA=AD=,E为线段PD上一点,G为线段PC的中点.
(1)当E为PD的中点时,求证:BD⊥CE;
(2)当时,求证:BG平面AEC。
答案
证明:(1)过E作EH⊥AD,垂足为H,连接CH.

∴∠1=∠2
又∠2+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°,∴BD⊥CH,
∵PA⊥矩形ABCD所在平面,∴平面PAD⊥矩形ABCD所在平面
∴EH⊥AD,平面PAD∩矩形ABCD=AD
∴EH⊥矩形ABCD所在平面
∴EH⊥BD
∵EH∩CH=H
∴BD⊥平面CEH
∴CE⊥平面CEH
∴BD⊥CE.    
(2)取PE的中点F,连接GF,BF.
∵G为PC的中点,
∴GFCE
∴GF平面ACE,CE平面ACE
∴GF平面ACE.
连接BD交AC与点O,连接OE.
∵E为DF的中点,
∴BFOE
∴BF平面ACE.
∵BF∩GF=F,
∴平面BGF平面AEC.
又BG平面BGF
∴BG平面AEC.  





举一反三
如图,正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B.
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(2)求二面角E﹣DF﹣C的余弦值;
(3)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.
题型:湖南省模拟题难度:| 查看答案
如图,在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD,
AD=1,AB=,BC=4.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)当PD=1时,求此四棱锥的表面积.
题型:吉林省模拟题难度:| 查看答案
已知三棱锥D﹣ABC的顶点都在球O的球面上,AB=4,BC=3,∠ABC=90 °,AD=12,且
DA⊥平面ABC,则球O的半径等于(    )
题型:云南省模拟题难度:| 查看答案
如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1D1中,点M是A1B的中点,点N是B1C的中点,连接MN.
(I)证明:MN∥平面ABC;
(II)若AB=1,,点P是CC1的中点,求四面体B1﹣APB的体积.
题型:云南省模拟题难度:| 查看答案
如图所示,平面EAD⊥平面ABCD,△ADE是等边三角形,ABCD是矩形,F是AB的中点,G是AD的中点,∠BCG=30°.
(1)求证:EG⊥平面ABCD
(2)若M,N分别是EB,CD的中点,求证MN∥平面EAD.
(3)若AD= ,求三棱锥F﹣EGC的体积.
题型:河南省模拟题难度:| 查看答案
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