如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AC⊥BD,AP=AB=2,BC=,E是PC的中点. (Ⅰ)证明:PC⊥平面BDE; (Ⅱ)求平面BD

如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AC⊥BD,AP=AB=2,BC=,E是PC的中点. (Ⅰ)证明:PC⊥平面BDE; (Ⅱ)求平面BD

题型:陕西省月考题难度:来源:
如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AC⊥BD,AP=AB=2,BC=,E是PC的中点.
(Ⅰ)证明:PC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求平面BDE与平面ABP夹角的大小.
答案

解:(Ⅰ)∵在Rt△PAB中,AP=AB=2,
∴ 
又E是PC的中点,∴BE⊥PC,
∵PA⊥平面ABC,又BD平面ABC ∴PA⊥BD,
∵AC⊥BD,又AP∩AC=A ∴BD⊥平面PAC,又PC平面PAC,
∴BD⊥PC,又BE∩BD=B,∴PC⊥平面BDE
(Ⅱ)∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,
∴BC⊥平面BAP,BC⊥PB,
又由(Ⅰ)知PC⊥平面BDE,
∴直线PC与BC的夹角即为平面BDE与平面BAP的夹角,
在△PBC中,PB=BC,∠PBC=90°,∠PCB=45°
所以平面BDE与平面BAP的夹角为45°

 


举一反三
如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB= ,CE=EF=1.
(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;
(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;
(Ⅲ)求二面角A﹣BE﹣D的大小 .
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如图,四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是

[     ]

A.AC⊥SB  
B.AB∥平面SCD  
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角  
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角


题型:安徽省期中题难度:| 查看答案

如图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,OA=AB=PD.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面DCQ;
(Ⅱ)求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值.



题型:安徽省期中题难度:| 查看答案
如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB.
(I)求证:CE⊥平面PAD;
(II)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
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如图所示,如果直线AB 与平面α交于点B ,且与平面α内的经过点B 的三条直线BC 、BD 、BE 所成的角相等.求证:AB⊥平面α
题型:同步题难度:| 查看答案
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