如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，OA=AB=PD． （Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ； （Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的

题型：安徽省期中题难度：来源：

如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，OA=AB=PD．
（Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值．

答案

解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形，
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，
可得PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得，
则PQ⊥DQ，又DQ∩DC=D，
所以PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）设AB=a，由题设知AQ为棱锥Q﹣ABCD的高，
所以棱锥Q一ABCD的体积
由（Ⅰ）知PQ为棱锥P﹣DCQ的高
而PQ=．△DCQ的面积为．
所以棱锥P﹣DCQ的体积Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值为1：l．