在四面体ABCD中,AB=AC=1,∠BAC=90°,AD=,△BCD是正三角形,(Ⅰ)求证:AD⊥BC;(Ⅱ)求四面体ABCD的体积。
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在四面体ABCD中,AB=AC=1,∠BAC=90°,AD=,△BCD是正三角形,(Ⅰ)求证:AD⊥BC;(Ⅱ)求四面体ABCD的体积。
题型:新疆自治区模拟题
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在四面体ABCD中,AB=AC=1,∠BAC=90°,AD=
,△BCD是正三角形,
(Ⅰ)求证:AD⊥BC;
(Ⅱ)求四面体ABCD的体积。
答案
解:(Ⅰ)证明:取BC的中点O,连接OA,OD,
∵AB=AC,
∴BC⊥OA,
∵△BCD是正三角形,
∴BC⊥OD,又OA∩OD=O,
∴BC⊥面AOD,
∴AD⊥BC;
(Ⅱ)由(Ⅰ)的证明过程知,
平面AOD将四面体ABCD分成两个相同的三棱锥,
在△AOD中,OA=OB=
,
OD=BDsin60°=
,
∴
,
∴
,
∴
。
举一反三
设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线,从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:( )。(用代号表示)
题型:江苏模拟题
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如图,平面PAC⊥平面ABC,点E,F,D分别为线段PA,PB,AC的中点,点G是线段CO的中点,AB=BC=AC=4,PA=PC=
,
求证:(Ⅰ)PA⊥平面EBO;
(Ⅱ)FG∥平面EBO。
题型:江苏模拟题
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如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°。
(1)证明:AB⊥PC;
(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱锥P-ABC体积。
题型:陕西省模拟题
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如图,多面体ABC-A
1
B
1
C
1
中,三角形ABC是边长为4的正三角形,AA
1
∥BB
1
∥CC
1
,AA
1
⊥平面ABC,AA
1
=BB
1
=2CC
1
=4。
(1)若O是AB的中点,求证:OC⊥A
1
B;
(2)在线段AB
1
上是否存在一点D,使得CD∥平面A
1
B
1
C
1
,若存在确定点D的位置;若不存在,说明理由。
题型:江西省模拟题
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设m,n是空间两条不同直线,α,β是空间两个不同平面,当m
α,n
β时,下列命题正确的是
[ ]
A.若m∥n,则α∥β
B.若m⊥n,则α⊥β
C.若m⊥β,则m⊥n
D.若n⊥α,则m⊥β
题型:福建省模拟题
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