如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（1）求证：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A-A1D-B的大小；（3）求点C到平面A1B

题型：福建省高考真题难度：来源：

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点。
（1）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的大小；
（3）求点C到平面A₁BD的距离。

答案

解：（1）取中点O，连结
∵为正三角形，
∴
∵正三棱柱中，平面平面，
∴平面
连结，在正方形中，O，D分别为的中点，
∴，
∴
在正方形中，，
∴平面。
（2）设与交于点G，在平面中，作于，连结，
由（1）得平面
∴，
∴为二面角的平面角
在中，由等面积法可求得，
又∵，
∴
所以二面角的大小为。（3）中，，
∴，
在正三棱柱中，到平面的距离为
设点C到平面的距离为d
由得，
∴
点C到平面的距离为。