如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC。(1)求证:PC⊥AB;(2)求二面角B-AP-C的大小;(3)求点
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如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC。(1)求证:PC⊥AB;(2)求二面角B-AP-C的大小;(3)求点
题型:北京高考真题
难度:
来源:
如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC。
(1)求证:PC⊥AB;
(2)求二面角B-AP-C的大小;
(3)求点C到平面APB的距离。
答案
解:(1)取
中点D,连结
∵
,
∴
∵
,
∴
∵
,
∴
平面
∵
平面
,
∴
。
(2)∵
,
∴
又
∴
又
,即
,且
∴
平面
取
中点E.连结
∵
,
∴
∵
是
在平面
内的射影,
∴
∴
是二面角
的平面角
在
中,
,
,
,
∴
∴二面角
的大小为
。
(3)由(1)知
平面PCD,
∴平面
平面
过
作
,垂足为H
∵平面
平面
,
∴
平面
∴
的长即为点C到平面
的距离
由(1)知
,
又
,且
,
∴
平面
∵
平面
,
∴
在
中,
,
,
∴
∴
∴点C到平面
的距离为
。
举一反三
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图、侧视图均为直角三角形,俯视图为直角梯形。
(1)M为AC中点,证明:BM⊥平面PAC:
(2)设直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为
,求过P-ACD的外接球的体积。
题型:专项题
难度:
|
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一个多面体的三视图和直观图如图所示,其中正视图和俯视图均为矩形,侧视图为直角三角形,M,G分别是AB,DF的中点。
(1)求证:CM⊥平面FDM;
(2)在线段AD上确定一点P,使得CP∥平面FMC,并给出证明;
(3)求直线DM与平面ABEF所成的角。
题型:专项题
难度:
|
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如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点。
(1)证明:AE⊥PD;
(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为
,求二面角E-AF-C的余弦值。
题型:山东省高考真题
难度:
|
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如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,平面A
1
BC⊥侧面A
1
ABB
1
,
(Ⅰ)求证:AB⊥BC;
(Ⅱ)若AA
1
=AC=a,直线AC与平面A
1
BC所成的角为θ,二面角A
1
-BC-A的大小为ψ,求证θ+ψ=
。
题型:湖北省高考真题
难度:
|
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如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,平面ABC⊥侧面A
1
ABB
1
。
(1)求证:AB⊥BC;
(2)若直线AC与平面A
1
BC所成的角为θ,二面角A
1
-BC-A的大小为φ,试判断θ与φ的大小关系,并予以证明。
题型:湖北省高考真题
难度:
|
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