如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1， （Ⅰ）求证：AB⊥BC； （Ⅱ）若AA1=AC=a，直线AC与平面A1BC所成的角为θ

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如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若AA₁=AC=a，直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为ψ，求证θ+ψ=。

答案

证明：(Ⅰ)如图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，
则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁=A₁B，
得AD⊥平面A₁BC，
又BC平面A₁BC，所以AD⊥BC，
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
则AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BC，
又AA₁∩AD=A，
从而BC⊥侧面A₁ABB₁，
又AB侧面A₁ABB₁，
故AB⊥BC。
(Ⅱ)连接CD，则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A₁BC所成的角，
∠ABA₁就是二面角A₁-BC-A的夹角，即∠ACD=θ，∠ABA₁=ψ，
于是在RtΔADC中，sinθ=，
在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D==，
∴sinθ=sin∠AA₁D，由于θ与∠AA₁D都是锐角，所以θ=∠AA₁D，
又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D+ψ=∠AA₁B+ψ=，
故θ+ψ=。