如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1, (Ⅰ)求证:AB⊥BC; (Ⅱ)若AA1=AC=a,直线AC与平面A1BC所成的角为θ

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1, (Ⅰ)求证:AB⊥BC; (Ⅱ)若AA1=AC=a,直线AC与平面A1BC所成的角为θ

题型:湖北省高考真题难度:来源:
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1
(Ⅰ)求证:AB⊥BC;
(Ⅱ)若AA1=AC=a,直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为ψ,求证θ+ψ=
答案
证明:(Ⅰ)如图,过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D,
则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B,
得AD⊥平面A1BC,
又BC平面A1BC,所以AD⊥BC,
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC,
又AA1∩AD=A,
从而BC⊥侧面A1ABB1
又AB侧面A1ABB1
故AB⊥BC。
(Ⅱ)连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角,
∠ABA1就是二面角A1-BC-A的夹角,即∠ACD=θ,∠ABA1=ψ,
于是在RtΔADC中,sinθ=
在RtΔADA1中,sin∠AA1D==
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角,所以θ=∠AA1D,
又由RtΔA1AB知,∠AA1D+ψ=∠AA1B+ψ=
故θ+ψ=
举一反三
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥侧面A1ABB1
(1)求证:AB⊥BC;
(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ,试判断θ与φ的大小关系,并予以证明。
题型:湖北省高考真题难度:| 查看答案
如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°,
(Ⅰ)求证:EF⊥平面BCE;
(Ⅱ)设线段CD、AE的中点分别为P、M,求证:PM∥平面BCE;
(Ⅲ)求二面角F-BD-A的大小。
题型:四川省高考真题难度:| 查看答案
如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=AA1=,∠ABC=60°。
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)求二面角A-A1C-B的大小。
题型:陕西省高考真题难度:| 查看答案
如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°,
(Ⅰ)求证:EF⊥平面BCE;
(Ⅱ)设线段CD的中点分别为P,在直线AE上是否存在一点M,使得PM∥平面BCE?若存在,请指出点M的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求二面角F-BD-A的大小。
题型:四川省高考真题难度:| 查看答案
如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4,将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EDB⊥平面ABD。
(1)求证:AB⊥DE;
(2)求三棱锥E-ABD的侧面积。
题型:福建省高考真题难度:| 查看答案
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