如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°。（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A-A1C-B的大小。

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如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=，∠ABC=60°。
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的大小。

答案

解：（1）三棱柱为直三棱柱，
∴AB⊥AA₁，
在△ABC中，AB=1，，∠ABC=60°，
由正弦定理得∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，
又A₁C平面ACC₁A₁，
∴AB⊥A₁C。
（2）作AD⊥A₁C交A₁C于D点，连接BD，
由三垂线定理知BD⊥A₁C，
∴∠ADB为二面角A-A₁C-B的平面角
在Rt△AA₁C中，，
在Rt△BAD中，tan∠ADB=，
∴
即二面角A-A₁C-B为。