在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点，（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的

题型：福建省高考真题难度：来源：

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点，
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面SMN的距离。

答案

解：（Ⅰ）取AC中点D，连结DS、DB，
∵SA=SC，BA=BC，
∴AC⊥SD且AC⊥DB，
∴AC⊥平面SDB，
又SB平面SDB，
∴AC⊥SB；
（Ⅱ）∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，
∴SD⊥平面ABC，
过D作DE⊥CM于E，连结SE，则SE⊥CM，
∴∠SED为二面角S-CM-A的平面角，
由已知有DE，
所以DE=1，
又SA=SC=2，AC=4，
∴SD=2，
在Rt△SDE中，tan∠SED==2，
∴二面角S-CM-A的大小为arctan2。
（Ⅲ）在Rt△SDE中，SE=，
CM是边长为4的正△ABC的中线，，
∴S_△SCM=CM·SE=，
设点B到平面SCM的距离为h，
由V_B-SCM=V_S-CMB，SD⊥平面ABC，
得S_△SCM·h=S_△CMB·SD，
∴h=，
即点B到平面SCM的距离为。