已知幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=14f(x)+a
题型:解答题难度:一般来源:安徽模拟
已知幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数 (1)求函数f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=f(x)+ax3+x2-b(x∈R),其中a,b∈R.若函数g(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范围. |
答案
(1)∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数, ∴-m2+2m+3>0即m2-2m-3<0∴-1<m<3,又m∈z,∴m=0,1,2 而m=0,2时,f(x)=x3不是偶函数,m=1时,f(x)=x4是偶函数,∴f(x)=x4. (2)g"(x)=x(x2+3ax+9),显然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根. 为使g(x)仅在x=0处有极值,必须x2+3ax+9≥0恒成立, 即有△=9a2-36≤0,解不等式,得a∈[-2,2]. 这时,g(0)=-b是唯一极值.∴a∈[-2,2]. |
举一反三
幂函数y=xn的图象( )A.一定经过点(0,0) | B.一定经过点(-1,-1) | C.一定经过点(-1,1) | D.一定经过点(1,1) |
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设a∈{-3,-2,-1,-,,,1,2,3},则使y=xa为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的a值的个数为( ) |
已知函数f(x)=x-n2+2n+3(x=2k,k∈N)的图象在[0,+∞)上单调递增,则n=______. |
幂函数y=xm在x∈(-∞,0)上单调递减,则m可以是( ) |
若f(x)是幂函数,且满足=3,则f()=______. |
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