解:(Ⅰ)因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD, 平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以BC⊥平面ABEF,所以BC⊥EF, 因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以∠AEB=45°, 又因为∠AEF=45°, 所以∠FEB=45°+45°=90°,即EF⊥BE, 又BE平面BCE,BC平面BCE,BE∩BC=B, 所以EF⊥平面BCE。 (Ⅱ)存在点M,当M为线段AE的中点时,PM∥平面BCE, 取BE的中点N,连接AN,MN, 则MNPC, 所以PMNC为平行四边形,所以PM∥CN, 因为CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, 所以PM∥平面BCE; (Ⅲ)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD, 易知,EA⊥平面ABCD, 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA。 从而,FG⊥平面ABCD, 作GH⊥BD于G,连结FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH, 因此,∠AEF为二面角F-BD-A的平面角, 因为FA=FE,∠AEF=45°, 所以∠AFE=90°,∠FAG=45°, 设AB=1,则AE=1,AF=,FG=AF·sin∠FAG=, 在Rt△FGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+, GH=BG·sin∠GBH=, 在Rt△FGH中,tan∠FHG=, 故二面角F-BD-A的大小为arctan。 | |