如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC。(1)求证:PC⊥AB;(2)求二面角B-AP-C的大小。
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如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC。(1)求证:PC⊥AB;(2)求二面角B-AP-C的大小。
题型:北京高考真题
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如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC。
(1)求证:PC⊥AB;
(2)求二面角B-AP-C的大小。
答案
解:(1)取AB中点D,连结PD,CD
∵AP=BP,
∴PD⊥AB
∵AC=BC
∴CD⊥AB
∵PD∩CD=D
∴AB⊥平面PCD
∵PC
平面PCD,
∴PC⊥AB。
(2)∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC
又PC⊥AC,
∴PC⊥BC
又∠ACB=90°,即AC⊥BC,且AC∩PC=C,
∴AB=BP,
∴BE⊥AP
∵EC是BE在平面PAC内的射影,
∴CE⊥AP
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角
在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BE=
,
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arcsin
。
举一反三
如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC。
(1)求证:PC⊥AB;
(2)求二面角B-AP-C的大小;
(3)求点C到平面APB的距离。
题型:北京高考真题
难度:
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已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图、侧视图均为直角三角形,俯视图为直角梯形。
(1)M为AC中点,证明:BM⊥平面PAC:
(2)设直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为
,求过P-ACD的外接球的体积。
题型:专项题
难度:
|
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一个多面体的三视图和直观图如图所示,其中正视图和俯视图均为矩形,侧视图为直角三角形,M,G分别是AB,DF的中点。
(1)求证:CM⊥平面FDM;
(2)在线段AD上确定一点P,使得CP∥平面FMC,并给出证明;
(3)求直线DM与平面ABEF所成的角。
题型:专项题
难度:
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如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点。
(1)证明:AE⊥PD;
(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为
,求二面角E-AF-C的余弦值。
题型:山东省高考真题
难度:
|
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如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,平面A
1
BC⊥侧面A
1
ABB
1
,
(Ⅰ)求证:AB⊥BC;
(Ⅱ)若AA
1
=AC=a,直线AC与平面A
1
BC所成的角为θ,二面角A
1
-BC-A的大小为ψ,求证θ+ψ=
。
题型:湖北省高考真题
难度:
|
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