如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥P

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥P

题型:山东省高考真题难度:来源:
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=,PB⊥PD,
(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角P-AB-C的大小;
(Ⅲ)设点M在棱PC上,且=λ,问λ为何值时,PC⊥平面BMD。
答案
解:∵PO⊥平面ABCD,
∴PO⊥BD,

由平面几何知识得:
(Ⅰ)过D作DE∥BC交AB于E,连结PE,
则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角,
∵四边形ABCD是等腰梯形,


又AB∥DC,
∴四边形EBCD是平行四边形。

∴E是AB的中点,且

∴△PEA为直角三角形,

在△PED中,由余弦定理得

故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为
(Ⅱ)连结OE,由(Ⅰ)及三垂线定理知,
∠PEO为二面角P-AB-C的平面角,


∴二面角P-AB-C的大小为45°。
(Ⅲ)连结MD,MB,MO,
平面平面BMD,
∵PC⊥OM,
又在Rt△POC中,


故λ=2时,PC⊥平面BMD。
举一反三
如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2,AB=4。
(1)证明PQ⊥平面ABCD;
(2)求异面直线AQ与PB所成的角;
(3)求点P到平面QAD的距离。
题型:湖南省高考真题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点,
(Ⅰ)求证:PB⊥DM;
(Ⅱ)求BD与平面ADMN所成的角。
题型:浙江省高考真题难度:| 查看答案
在如图所示的几何体中,EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC,且AC=BC=BD=2AE,M是AB的中点,
(Ⅰ)求证:CM⊥EM;
(Ⅱ)求DE与平面EMC所成角的正切值。
题型:浙江省高考真题难度:| 查看答案
如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6。
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角P-BD-A的大小。
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如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=4,AD=2,AB=,BC=6。
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角A-PC-D的大小。
题型:陕西省高考真题难度:| 查看答案
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