在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）。将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，

题型：江苏高考真题难度：来源：

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）。将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）。
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；
（3）求二面角B-A₁P-F的大小（用反三角函数表示）。

答案

解：不妨设正三角形ABC的边长为3。
（1）在图1中，取BE的中点D，连结DF。
∵AE：EB=CF：FA=1：2，
∵AF=AD=2，而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形。
又AE=DE=1，
∴EF⊥AD
在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角。
由题设条件知此二面角为直二面角，
∴A₁E⊥BE。
又BE∩EF=E，
∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP。
（2）在图2中，∵A₁E不垂直于A₁B，
∴A₁E是平面A₁BP的斜线。
又A₁E⊥平面BEP，
∴A₁E⊥BP，
从而BP垂直于A₁E在平面A₁BP内的射影（三垂线定理的逆定理）。
设A₁E在平面A₁BP内的射影为A₁Q，且A₁Q交BP于点Q，
则∠EA₁Q就是A₁E与平面A₁BP所成的角，且BP⊥A₁Q。
在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60°，
∴△EBP是等边三角形，
∴BE=EP
又A₁E⊥平面BEP，
∴A₁B=A₁P，
∴Q为BP的中点，且。
又A₁E=1，
在Rt△A₁EQ中，
∴∠EA₁Q=60°
所以直线A₁E与平面A₁BP所成的角为60°。（3）在图3中，过F作FM⊥A₁P于M，连结QM，QF。 ∵CF=CP=1，∠C=60°，
∴△FCP是正三角形，
∴PF=1
又
∴PF=PQ。 ①
∵A₁E⊥平面BEP，
∴A₁F=A₁Q；
∴△A₁FP≌△A₁QP
从而∠A₁PF=∠A₁PQ ②
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
从而∠FMQ为二面角B-A₁P-F的平面角。
在Rt△A₁QP中，A₁Q=A₁F=2，PQ=1，
∴
∵MQ⊥A₁P
∴
∴
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，
由余弦定理得QF=。
在△FMQ中
∴二面角B-A₁P-F的大小为。