如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAB为正三角形,AB=2,BC=,PC⊥BD,E为AB的中点.(1)证明:PE⊥平面ABCD;(2)求二面

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAB为正三角形,AB=2,BC=,PC⊥BD,E为AB的中点.(1)证明:PE⊥平面ABCD;(2)求二面

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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAB为正三角形,AB=2,BC=,PC⊥BD,E为AB的中点.
(1)证明:PE⊥平面ABCD;
(2)求二面角A-PD-B的大小.
答案
解:如图,(1)设BD与CE交于点O,
∴∠OBC+∠OCB=90°,
从而∠BOC=90°,即BD⊥CE,
又PC⊥BD,且PC∩CE=C,
∴BD⊥平面PCE,∴BD⊥PE,
又∵△PAB为正三角形,E为AB的中点,
∴PE⊥AB,∴PE⊥平面ABCD.
(2)PE⊥平面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD,
又AD⊥AB,
∴平面PAB⊥平面PAD,
设F为PA的中点,连接BF,则BF⊥PA,
∴BF⊥平面PAD,过点F作FG⊥PD于G,连接BG,
则BG⊥PD,∠BGF为二面角A-PD-B的平面角,
在△PFG及△BGF中,



∴二面角P-AD-B的大小为arctan3。
举一反三
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2,平面A1ACC1⊥平面ABCD,∠ABC=∠A1AC=60°,点O为底面对角线AC与BD 的交点。
(1)证明:A1O⊥平面ABCD;
(2)求二面角D-A1A-C的平面角的正切值。
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如图,AB是⊙O的直径,PA垂直⊙O所在的平面,C为⊙O上一点,AB=2,AC=1,二面角P-BC-A为
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)求三棱锥P-ABC的体积;
(3)求点A到面PBC的距离。
题型:0127 模拟题难度:| 查看答案
如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点,
(1)求证:BD⊥FG;
(2)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由;
(3)当二面角B-PC-D的大小为时,求PC与底面ABCD所成角的正切值.
题型:0107 模拟题难度:| 查看答案
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC⊥CD,∠ABC=45°,直角梯形ABCD与矩形ADQP所在平面垂直,将矩形ADQP沿PD对折,使得翻折后点Q落在BC上,设DC=1。
(1)求证:AQ⊥DQ;
(2)求线段AD的最小值,并指出此时点Q的位置;
(3)当AD长度最小时,求直线BD与平面PDQ所成的角的正弦值。
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如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,AC∩BD=G。
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求证:AE∥平面BFD;
(3)求三棱锥C-BGF的体积。
题型:0108 模拟题难度:| 查看答案
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