如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2,平面A1ACC1⊥平面ABCD,∠ABC=∠A1AC=60°,点O为底面对角线AC与BD 的交
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如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长都等于2,平面A1ACC1⊥平面ABCD,∠ABC=∠A1AC=60°,点O为底面对角线AC与BD 的交
题型:湖北省模拟题
难度:
来源:
如图,四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的底面边长和侧棱长都等于2,平面A
1
ACC
1
⊥平面ABCD,∠ABC=∠A
1
AC=60°,点O为底面对角线AC与BD 的交点。
(1)证明:A
1
O⊥平面ABCD;
(2)求二面角D-A
1
A-C的平面角的正切值。
答案
解:(1)由已知AB=BC=2,∠ABC=60°,
则△ABC为正三角形,
所以AC=2
因为点O为AC的中点,
所以AO=1
又AA
1
=2,∠A
1
AO=60°,
在△A
1
OA中,由余弦定理,得
所以
所以A
1
O⊥AC
因为平面AA
1
C
1
C⊥平面ABCD,其交线为AC,
所以A
1
O⊥平面ABCD。
(2)因为底面ABCD为菱形,
∴BD⊥AC
又BD⊥A
1
O,
∴BD⊥平面A
1
ACC
1
如图,过点O作OE⊥AA
1
,垂足为E,
连接DE,则AA
1
⊥DE,
所以∠DEO为二面角D-AA
1
-C的平面角,
在Rt△AOD中,
在Rt△AEO中,
在Rt△DOE中,
故二面角D-AA
1
-C的平面角的正切值为2。
举一反三
如图,AB是⊙O的直径,PA垂直⊙O所在的平面,C为⊙O上一点,AB=2,AC=1,二面角P-BC-A为
。
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)求三棱锥P-ABC的体积;
(3)求点A到面PBC的距离。
题型:0127 模拟题
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|
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如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点,
(1)求证:BD⊥FG;
(2)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由;
(3)当二面角B-PC-D的大小为
时,求PC与底面ABCD所成角的正切值.
题型:0107 模拟题
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|
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如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC⊥CD,∠ABC=45°,直角梯形ABCD与矩形ADQP所在平面垂直,将矩形ADQP沿PD对折,使得翻折后点Q落在BC上,设DC=1。
(1)求证:AQ⊥DQ;
(2)求线段AD的最小值,并指出此时点Q的位置;
(3)当AD长度最小时,求直线BD与平面PDQ所成的角的正弦值。
题型:模拟题
难度:
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如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,AC∩BD=G。
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求证:AE∥平面BFD;
(3)求三棱锥C-BGF的体积。
题型:0108 模拟题
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如下图,四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,点P在圆柱OQ的底面圆周上,G是DP的中点,圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,侧面积为8
π,∠AOP=120°。
(1)求证:AG⊥BD;
(2)求二面角P-AG-B的平面角的余弦值。
题型:0108 模拟题
难度:
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