如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点，（1）求证：BD⊥FG； （2）确定点G在线段AC

题型：0107 模拟题难度：来源：

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点，
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（3）当二面角B-PC-D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

答案

解：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面APC，
平面PAC，
∴BD⊥FG；
（Ⅱ）当G为EC中点，即时，FG∥平面PBD；
理由如下：连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，
而FG平面PBD，PB平面PBD，
故FG∥平面PBD．
（Ⅲ）作BH⊥PC于H，连结DH，
∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，
∴△PCB≌△PCD，
∴DH⊥PC，且DH=BH，
∴∠BHD是二面角B-PC-D的平面角， 
即，
∵PA⊥面ABCD，
∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，
连结EH，则，
∴，而BE=EC，
∴，
∴，
∴，
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是。