如图，在圆锥PO中，已知PO= ，⊙O的直径AB=2，点C在上，且∠CAB=30°，D为AC的中点。（1）证明：AC⊥平面POD；（2）求直线OC和平面PAC所

题型：湖南省高考真题难度：来源：

如图，在圆锥PO中，已知PO= ，⊙O的直径AB=2，点C在上，且∠CAB=30°，D为AC的中点。
（1）证明：AC⊥平面POD；
（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值。

答案

解：（1）因为，D是AC的中点，
所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD；
（2）由（1）知，AC⊥平面POD，又AC平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC
连接CH，则CH是OC在平面上的射影，
所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角
在Rt△POD中，
在Rt△OHC中，。