如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上。(1)证明:AP⊥BC;(2)已知BC=8,PO=4,AO=3,

如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上。(1)证明:AP⊥BC;(2)已知BC=8,PO=4,AO=3,

题型:浙江省高考真题难度:来源:
如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上。
(1)证明:AP⊥BC;
(2)已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2。求二面角B-AP-C的大小。
答案
解:(1)由AB=AC,D是BC的中点,得AD⊥BC
又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC
因为PO∩AD=O,
所以BC⊥平面PAD
故BC⊥PA;(2)如图,在平面PAB内作BM⊥PA于M,连CM
因为BC⊥PA,得AP⊥平面BMC
所以AP⊥CM
故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角
在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB=
在Rt△POD中,PD2=PO2+OD2
在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2
所以PB2=PO2+OD2+BD2=36,得PB=6
在Rt△POB中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5

从而
所以
同理CM
因为BM2+MC2=BC2
所以=90°
即二面角B-AP-C的大小为90°。
举一反三
如图,四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC。
(1)证明:SE=2EB;
(2)求二面角A-DE-C的大小。
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点。
(1)证明:PC⊥平面BEF;
(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
题型:陕西省高考真题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,
(Ⅰ)求证:PC⊥BC;
(Ⅱ)求点A到平面PBC的距离.
题型:江苏高考真题难度:| 查看答案
如图,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FB=FD=a,FE=a,
(Ⅰ)证明:EB⊥FD;
(Ⅱ)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得FQ=FE,FR=FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。
题型:广东省高考真题难度:| 查看答案
如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,
(Ⅰ)设P为AC的中点.证明:在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算的值;
(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
题型:湖北省高考真题难度:| 查看答案
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