在如图所示的空间几何体中，△ABC，△ACD都是等边三角形，AE=CE，DE//平面ABC，平面ACD⊥平面ABC。 （1）求证：DE⊥平面ACD；（2）若AB

题型：0112 月考题难度：来源：

在如图所示的空间几何体中，△ABC，△ACD都是等边三角形，AE=CE，DE//平面ABC，平面ACD⊥平面ABC。
（1）求证：DE⊥平面ACD；
（2）若AB=BE=2，求多面体ABCDE的体积。

答案

（1）证明：△ABC，△ACD都是等边三角形， AE=CE，
取AC中点O，连接BO，DO，EO，
则BO⊥AC，DO⊥AC，EO⊥AC，
∵EOBO=O，
∴AC⊥平面OBF，
作EF⊥BO于点F，则AC⊥EF，
∵ACBO=O，
∴EF⊥平面ABC，
∵平面ACD⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，BO⊥平面ACD，
∴DO∥EF，
∴ODEF是平面四边形，
∵DE∥平面ABC，
∴OE∥OF，即DE∥OB，
∴DE⊥平面ACD。（2）解：由EF//DO，DE//OF，知DE=OF，EF=DO，
又AB=BE=2，△ABC，△ACD都是等边三角形，EF⊥BO，
∴，
∵DE⊥平面ACD，
∴三棱锥E-DAC的体积，
又三棱锥E-ABC的体积，
∴多面体ABCDE的体积为。