(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD, ∵PD⊥底面ABCD, ∴PD⊥AC,BD∩PD=D ∴AC⊥平面PDB, 又∵AC⊂平面AEC ∴平面平面AEC⊥平面PDB. (2)∵四边形ABCD是正方形, ∴OB=OD,在PBD中, 又∵PE=BE ∴OE∥PD, 又∵OE⊄平面PAD,PD⊂平面PAD ∴OE∥平面PDA,同理可证OE∥平面PDC. (3)∵PD⊥底面ABCD, ∴PD⊥DA,PD⊥DC, 又∵DA⊥DC 所以,可以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz.设AB=1.则 D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,),E(,,) 从而,=(-,,),=(1,0,0),=(0,-1,) 设平面PBC的一个法向量为=(x,y,z). 由得 令z=1,得(0,,1) 设AE与平面PBC所成的角θ,则sinθ=, sinθ=== AE与平面PBC所成的角的正弦值为. |