(Ⅰ)证明:菱形ABCD中,tan∠DAC=,AD=10, ∴OA=8,OD=6 …(1分) 翻折后变成三棱椎A-BCD,在△ACD中, | AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos∠ADC | =100+100-2×10×10×=128 |
| | ,…(3分) 在△AOC中,OA2+OC2=128=AC2,…(4分) ∴∠AOC=90°,即AO⊥OC,又AO⊥BD,OC∩BD=O, ∴AO⊥平面BCD, 又AO⊂平面ABD, ∴平面ABD⊥平面CBD. …(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知OA,OC,OD两两互相垂直,分别以OA,OC,OD所在直线为坐标轴建系,则A(0,0,8),B(0,-6,0),C(8,0,0)D(0,6,0)M(0,-3,4),…(7分)=(8,3,-4), =(8,-6,0),=(8,0,-8),…(8分) 设平面MCD的一个法向量为=(x,y,z),则由,得,…(10分) 令y=4,有=(3,4,9),…(11分) 设AC与平面MCD所成角为θ,则cosθ=|cos<,>|=||=,…(13分) ∴AC与平面MCD所成角的余弦值为,…(14分) |