如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M，（1）求证：

题型：江西省高考真题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M，
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线PC与平面ABM所成的角；
（3）求点O到平面ABM的距离．

答案

（1）证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD，
因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，
又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，
所以平面ABM⊥平面PCD。
 （2）解：设平面ABM与PC交于点N，因为AB∥CD，
所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD，
由（1）知，PD⊥平面ABM，
则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，
且，
，
所求角为。
（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，
由（1）知，PD⊥平面ABM于M，则|DM|就是D点到平面ABM的距离，
因为在Rt△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM，
所以M为PD的中点，，
则O点到平面ABM的距离等于。