如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（1）若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN的长；（2）用反证

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如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（1）若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN的长；
（2）用反证法证明：直线ME与BN 是两条异面直线。

答案

解：（1）取CD的中点G连结MG，NG
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG=2，

因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，可
得MG⊥NG
所以

。

（2）假设直线ME与BN共面
则

平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，
由已知，两正方形不共面，故

平面DCEF
又AB∥CD，
所以AB∥平面DCEF
而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB∥EN
又AB∥CD∥EF，
所以EN∥EF，这与

矛盾，
故假设不成立。
所以ME与BN不共面，它们是异面直线。

举一反三

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M，
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线PC与平面ABM所成的角；
（3）求点O到平面ABM的距离．

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在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交DAPD于点M，交PC于点N。

（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；
（3）求点N到平面ACM的距离。

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如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜

），
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；
（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小。

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如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜

），
（1）求MN的长；
（2）当a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小。

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已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m

β，给出下列四个命题：
（1）若α∥β，则l⊥m；（2）若l⊥m，则α∥β；
（3）若α⊥β，则l∥m；（4）若l∥m，则α⊥β；
其中正确命题的个数是[ ]
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

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