如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD。(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ; (2)求二面角Q-BP-C的余弦值。
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如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD。(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ; (2)求二面角Q-BP-C的余弦值。
题型:辽宁省高考真题
难度:
来源:
如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
PD。
(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角Q-BP-C的余弦值。
答案
解:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz
(1)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0)
则
所以
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC
故PQ⊥平面DCQ
又PQ
平面PQC,
所以平面PQC⊥平面DCQ。
(2)依题意有B(1,0,1),
设
是平面PBC的法向量,则
即
因此可取
设m是平面PBQ的法向量,则
可取
所以
故二面角Q-BP-C的余弦值为-
。
举一反三
如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠BAC=90°,AB=BB
1
=1 ,直线B
1
C与平面ABC成30°角,
(Ⅰ)求证:平面B
1
AC⊥平面ABB
1
A
1
;
(Ⅱ)求二面角B-B
1
C-A的大小;
(Ⅲ)求点A
1
到平面B
1
AC的距离。
题型:贵州省模拟题
难度:
|
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如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠ACB=90°,2AC=AA
1
=BC=2。
(1)若D为AA
1
中点,求证:平面B
1
CD⊥平面B
1
C
1
D;
(2)若二面角B
1
-DC-C
1
的大小为60°,求AD的长。
题型:0128 模拟题
难度:
|
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(1)证明:平面SAD⊥平面SCD;
(2)求AC与SB所成角的余弦值;
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题型:0128 模拟题
难度:
|
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(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)求证:平面PAD⊥平面PDC;
(3)求二面角A-PD-B的余弦值。
题型:0127 模拟题
难度:
|
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B.若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n
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题型:江西省模拟题
难度:
|
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