如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=PB=1,BC=2。(1)求证:EF∥平面PAB;(2)求证:平面
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如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=PB=1,BC=2。(1)求证:EF∥平面PAB;(2)求证:平面
题型:0127 模拟题
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如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=PB=1,BC=2。
(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)求证:平面PAD⊥平面PDC;
(3)求二面角A-PD-B的余弦值。
答案
解:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线y为轴,
AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则
∴
,
,
,
,
,
。
(1)∵
∴
即
又
平面PAB,
平面PAB
∴
∥平面PAB。
(2)
∴
即
又
∴
平面PAD
∵
平面PDC
∴平面PAD⊥平面PDC。
(3)设平面PBD的一个法向量
则
,即
解得平面APC的一个法向量
而平面APD的一个法向量是
设二面角
为θ
则
即二面角
的余弦值为
。
举一反三
设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是
[ ]
A.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α∥β
B.若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n
C.若m∥n,m∥α,m∥β,则α∥β
D.若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n
题型:江西省模拟题
难度:
|
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如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AC=4,CB=2,AA
1
=2,∠ACB=60°,E、F分别是A
1
C
1
、BC的中点, (1)证明:平面AEB⊥平面BB
1
C
1
C;
(2)证明:C
1
F∥平面ABE;
(3)设P是BE的中点,求三棱锥P-B
1
C
1
F的体积。
题型:安徽省模拟题
难度:
|
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在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为
的等边三角形,AB=2,O是AB中点。
(1)在棱PA上求一点M,使得OM∥平面PBC;
(2)求证:平面PAB⊥平面ABC。
题型:0108 模拟题
难度:
|
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如图,四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高。已知AB=
,∠APB=∠ADB=60°。
(1)证明:平面PAC⊥平面PBD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积;
(3)求二面角P-AD-B的正切值。
题型:湖北省模拟题
难度:
|
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如图,在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论不成立的是
[ ]
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE
D.平面PDE⊥平面ABC
题型:模拟题
难度:
|
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