如图，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高。已知AB=，∠APB=∠ADB=60°。（1）证明：平面PAC⊥平

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如图，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高。已知AB=，∠APB=∠ADB=60°。
（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）求二面角P-AD-B的正切值。

答案

解：（1）证明：因为PH是四棱锥P-ABCD的高，
所以AC⊥PH，
又AC⊥BD
所以AC⊥平面PBD，
又AC平面PAC
故平面PAC⊥平面PBD。
（2）因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD

所以
因为∠APB=∠ADB=60°
所以
HD=HC=1
所以
故等腰梯形ABCD的面积为

所以四棱锥的体积为
。（3）如图，过H作HE⊥AD于E，连接PE，
∵PH是四棱锥的高，
∴PE⊥AD
∴∠PEH为二面角P-AD-B的平面角
在Rt△AHD中，
∴
∴
∴
故二面角P-AD-B的正切值为2。