如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ABB1和BCC1B1是两个全等的正方形，AC1⊥平面A1DB，D为AC的中点．(Ⅰ)求证：平面A1ABB⊥平

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如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁和BCC₁B₁是两个全等的正方形，AC₁⊥平面A₁DB，D为AC的中点．
(Ⅰ)求证：平面A₁ABB⊥平面BCC₁B₁；
(Ⅱ)求证：B₁C∥平面A₁DB；
(Ⅲ)设E是CC₁上一点，试确定点E的位置，使平面A₁DB⊥平面BDE，并说明理由．

答案

(Ⅰ)解法一：∵AC₁⊥平面A₁DB，A₁B平面A₁DB，
∴AC₁⊥A₁B，
又在正方形A₁ABB₁中，A₁B⊥AB₁，AC₁∩AB₁=A，
∴A₁B⊥面AC₁B₁，
又B₁C₁面AC₁B₁，
∴ A₁B⊥B₁C₁， 
又在正方形BCC₁B₁中有，B₁C₁⊥BB₁，
又BB₁∩A₁B=B，
∴B₁C₁⊥平面A₁ABB₁，B₁C₁平面B₁BCC₁，
∴平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁。
解法二：由已知可知三棱柱是直三棱柱，
∴四边形A₁ACC₁为矩形，
又AC₁⊥平面A₁DB，A₁D平面A₁DB，
∴AC₁⊥A₁D，
又D为AC的中点，
∴由平面几何知识可知，△A₁AD~△ACC₁，
∴AA₁：AD=AC：CC₁，AC²= AA₁·CC₁=AB²，
∴AC=AB，
∴AB⊥BC，
又BC⊥BB₁且BB₁∩AB=B，
∴BC⊥平面A₁ABB₁，BC平面BCC₁B₁，
∴平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁。 

(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知BC，BB₁，BA两两垂直，
如图以B为原点，BC，BB₁，BA分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系B-xyz，
设正方形边长为1，则
，
，
由AC₁⊥平面A₁DB，得平面A₁DB的法向量为，
∵，
∴，
又平面A₁DB，
∴平面A₁DB。
解法二：连接AB₁交A₁B于点O，连接OD，
∴O为AB1中点，又D为AC中点，
∴在△ACB1中，OD// CB₁， 
∵CB₁平面A₁DB₁，OD平面A₁DB，
∴B₁C∥平面A₁BD。

 (Ⅲ)解法一：设点E(1，b，0)，平面BDE的法向量为m=(x，y，z)，
则有， 得，
令y=l，则m=(-b，1，b)，
由m·n=(1，1，-1)·(-b，1，b)=0，得b=，
即当E为CC₁中点时，平面A₁BD⊥平面BDE。
解法二：取CC₁中点E， D为AC中点，
在△ACC₁中，
∴DE∥AC₁，
又AC₁⊥平面A₁DB， 
∴DE⊥平面A₁DB，DE平面BDE，
∴平面A₁DB⊥平面BDE，
即当E为CC₁中点时，平面A₁DB⊥平面BDE。