试题分析:(Ⅰ)用向量法的解题步骤是建立恰当的空间直角坐标系,写出相应的点的坐标及向量的坐标,利用向量的数量积为0,则这两个向量垂直,得出结论;(Ⅱ)二面角的问题,找到两个平面的法向量的夹角,利用向量的夹角公式求解. 试题解析:方法一:
(Ⅰ)如图,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则 易得 2分 由题意得,设 又 则由得, ∴,得为的四等分点. 6分 (Ⅱ)易知平面的一个法向量为,设平面的法向量为 则,得,取,得, 10分 ∴,∴二面角的平面角余弦值为.12分 方法二: (Ⅰ)∵在平面内的射影为,且四边形为正方形,为中点, ∴ 同理,在平面内的射影为,则 由△~△, ∴,得为的四等分点. 6分 (Ⅱ)∵平面,过点作,垂足为; 连结,则为二面角的平面角; 8分 由,得,解得 ∴在中,, ∴;∴二面角的平面角余弦值为. 12分 |