本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,直线与平面所成的角,其中方法一的关键是熟练掌握二面角及线面夹角的定义,方法二的关键是建立空间直角坐标系,将问题转化为向量夹角问题. 解法一(几何法):(Ⅰ)作ME∥CD交CD于E,由已知中,∠ADC=∠BCD=90°,PA=PD=AD=2BC=2,N是AD的中点,可得BN⊥AD,结合侧面PAD垂直于底面ABCD,及面面垂直和线面垂直的性质可得BN⊥NE,即∠DNE为二面角M-BN-C的平面角,由二面角M-BN-C为30°,可得∠DNE=30°,可求出DE= DP,进而得到所求的值。 (2)连接BE,由(Ⅰ)可知PE⊥平面BMN,即∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角.连接PN,则PN⊥平面ABCD,从而PN⊥BN,解△PBE可得直线PB与平面MBN所成的角。解法二(向量法):(Ⅰ)建立如图所示的坐标系N-xyz,设PM=λPC(λ>0),求出面MBN的法向量,及面BNC的法向量,由二面角M-BN-C为30°,求出λ值,即可得到值。 (2)由上可知( ,0,3)为面MBN的法向量,设直线PB与平面MBN所成的角为θ,求出PB的方向向量 PB,代入线面夹角公式sinθ,可得直线PB与平面MBN所成的角. (1)建立如图所示的坐标系 ,其中 , , , , , 。设 ,则 ,于是![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022011326-11114.png) , ……3分 设 为面 的法向量,则 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022011327-83649.png) , 取 ,又 为面 的法向量,由二面角 为 ,得 , 解得 故 。……6分 (2)由(1)知, 为面 的法向量……8分 设直线 与平面 所成的角为 ,由 得
, 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。……12分 |