(本题满分12分)如图,四棱锥的侧面垂直于底面,,,,在棱上,是的中点,二面角为(1)求的值;(2)求直线与平面所成角的正弦值.

(本题满分12分)如图,四棱锥的侧面垂直于底面,,,,在棱上,是的中点,二面角为(1)求的值;(2)求直线与平面所成角的正弦值.

题型:不详难度:来源:
(本题满分12分)
如图,四棱锥的侧面垂直于底面在棱上,的中点,二面角

(1)求的值;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
答案
(1)。(2)直线与平面所成角的正弦值为
解析
本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,直线与平面所成的角,其中方法一的关键是熟练掌握二面角及线面夹角的定义,方法二的关键是建立空间直角坐标系,将问题转化为向量夹角问题.
解法一(几何法):(Ⅰ)作ME∥CD交CD于E,由已知中,∠ADC=∠BCD=90°,PA=PD=AD=2BC=2,N是AD的中点,可得BN⊥AD,结合侧面PAD垂直于底面ABCD,及面面垂直和线面垂直的性质可得BN⊥NE,即∠DNE为二面角M-BN-C的平面角,由二面角M-BN-C为30°,可得∠DNE=30°,可求出DE= DP,进而得到所求的值。
(2)连接BE,由(Ⅰ)可知PE⊥平面BMN,即∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角.连接PN,则PN⊥平面ABCD,从而PN⊥BN,解△PBE可得直线PB与平面MBN所成的角。解法二(向量法):(Ⅰ)建立如图所示的坐标系N-xyz,设PM=λPC(λ>0),求出面MBN的法向量,及面BNC的法向量,由二面角M-BN-C为30°,求出λ值,即可得到值。
(2)由上可知(,0,3)为面MBN的法向量,设直线PB与平面MBN所成的角为θ,求出PB的方向向量
PB,代入线面夹角公式sinθ,可得直线PB与平面MBN所成的角.
(1)建立如图所示的坐标系,其中。设,则,于是……3分
 为面的法向量,则,又为面的法向量,由二面角,得
解得。……6分
(2)由(1)知,为面的法向量……8分
设直线与平面所成的角为,由

所以直线与平面所成角的正弦值为。……12分
举一反三
如图,直角坐标系所在的平面为,直角坐标系所在的平面为,且二面角的大小等于.已知内的曲线的方程是,则曲线内的射影的曲线方程是________ .
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(12分)如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且的中点.

(Ⅰ)求异面直线所成角的余弦值;
(Ⅱ)BE和平面所成角的正弦值.
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已知棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1,E为BC中点.
(1)求B到平面B1ED距离
(2)求直线DC和平面B1ED所成角的正弦值. (12分)
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(本题满分14分)
如图, 在直三棱柱中,,
(1)求证:
(2)问:是否在线段上存在一点,使得平面
若存在,请证明;若不存在,请说明理由。
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(本题满分12分)
(本题满分12分)
如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,
的中点。
(1)求异面直线所成角的余弦值;
(2)求直线BE和平面的所成角的正弦值。
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