本试题主要是考查了线线的垂直和二面角的求解,以及异面直线的所成的角的求解的综合运用。 (1)先根据线面垂直的性质定理得到线线垂直的判定。 (2)要求解二面角的平面角可以运用三垂线定理作出角,或者利用空间向量表示的二面角平面角。 (3)对于异面直线的所成的角,可以通过平移法得到结论。 (Ⅰ)分别取、的中点、,连结、. ∵是正三角形,∴. ∵面⊥面,且面面, ∴平面.∵是的中位线,且平面,∴平面. 以点为原点,所在直线为轴,所 在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设,则,
,, ,. ∴,. ……………………2分 ∴. ∴,即 . …………………5分 (Ⅱ)∵平面, ∴平面的法向量为. 设平面的法向量为,∴,. ∴,即 . ,即 . ∴令,则,. ∴. . 平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值为 …………………10分 (Ⅲ)∵,, ∴. ∴异面直线与所成角的余弦值为 …………………14 |